（83）大师带你读经典——《金属结构的屈曲强度》（F.Bleich)去图片

本文出自长篇经典稳定理论著作《金属结构的稳定屈曲》（F.Bleich著）读后感，由全国勘察设计大师王立军先生亲笔撰写。该系列作品更多文章敬请阅读DS结构工作室公众号“大师讲堂”栏目

 

83. 具有变化的压力、跨度、惯性矩和弹簧常数的弦杆的稳定

本节中介绍一个用来解决在普遍情况下的弹性支承杆件的屈曲问题的实用方法。普遍情况是指荷载、杆件刚度、支承弹性刚度。第80节曾讨论了这个问题的标准解答，得到一组齐次线性方程式，但由于实际情况计算工作量大，致使这一方法实用价值不大。即使能够将非常复杂的稳定条件求出解答，但不可能包括各种设计要求的情况，且要提供公式或图表。因此，目前的任务是建立一个解法，要有足够的精度，又十分简单，使数字工作的计算在合理范围之内。

第二章中曾广泛讨论过的李兹法，可能使求解这一问题具有成功希望。本节介绍一个设计方法，它能够将 的变化考虑进去，而在确定弹簧常数时不必耗费过多的劳动。

图153

图153，长度L，两端铰接于刚性支承上。变化的惯性矩 ，屈曲瞬间变化的轴向力 ，弹簧系数为 。体系的势能为

式中 。上式右侧的前两项代表积聚在杆件中和在支承结构中的弹性能。假定 和 的数值已知，为x的函数，所有弹簧常数 已知。 等于设计内力乘以安全因数

因数 为自由参变数，作为稳定问题的未知数。如果所求得的 小于等于1，则通过弹簧常数 表示的、支承刚架的刚度是足够保证弦杆稳定的。 表示支承刚架过于柔弱，必须增加弦杆的惯性矩或刚架的劲度。

李兹法用一个级数近似表示挠度y

为坐标函数。代入式（569），参变数μ由下列条件确定

下面所论述的方法的特点在于应用了一组坐标函数 ，它们是一个辅助的最小值问题的特征函数，在此已考虑了 的变化。为此，研究最小值问题的特征解，它们由下列积分确定

假定辅助问题的边界条件与主要问题的相同。应用势能不变定理， 这一条件经过变分后给出具有变化的轴向荷载 和变化的刚度 的直杆的屈曲问题的微分方程

假定微分方程（573）的特征值 和特征解 （i=1,2,…）为已知。它们组成一个完全正交函数系，可用于所给问题的近似解（570）中，作为坐标函数 。

由方程（573）得到正交关系

当

此外还有下列关系

它对以后的分析是很重要的。

将级数（570）代入能量表达式（569），得到

式中 为支承r处的 值。

把上式的平方展开，注意到右边第一和第三项的平方展开后，交叉乘积由于正交关系（574）都等于零，得到

由式（575）

式（577）减去上式

采用下列符号

则U具有下列形式

要得到 ，可把 曲线在1,2,3…,(r-1)各点的纵坐标分别乘以 曲线上相应的纵坐标，然后再乘以相应的 ，最后把所有乘积相加即得。各系数是对称的，即 。

最后，稳定条件（式571））给出p个确定系数 的线性方程式

要使 不为零，系数行列式必须为零。由Δ=0可得到一个μ的p次方程式，其最大根确定临界值 。如 小于等于1，则这个体系在荷载 作用下是稳定的。

多数情况下，利用两项或三项级数（570）就可得到足够精确的 。然而，由于在n+1个点上具有弹性支承的杆件，可以屈曲成1,2,…,n个半波，因此开始时没有线索在辅助问题解中所得到的无限多的特征函数中选出合适的函数 。为对屈曲形状有一个概念，建议先由恩格塞尔公式（518）求出半波长度

把上式用于杆件的中点和四分点，可估算出实际屈曲曲线中的半波数，因而可选定一群连续坐标函数 ，它们组成的曲线具有所要求的半波数，当结构是对称的以及力 也是对称分布时，屈曲形式是对称的或者是反对称的。这时分别采用两个或三个连续的对称或反对称的形式组合，就可以求得具有足够精确度的 μ 的临界值。常常要试用两个组合，如 和 ，来求得与对称形式相应的最大μ值，以及 和 ，求得与反对称形式相应的最大μ值。

当辅助屈曲形式为已知时，应用这一方法特别方便。例如 为常数或近似作为常数，而弹簧常数沿着杆件有很大的变化的情况。图154a、b表示两个例子。由竖杆平面内的横向框架所提供的弹性支承，随着竖杆的长度而有很大的变化。具有弹性支承的多边形弦杆可用直线弦杆代替而不会引起很大误差，直线弦杆受到原桥梁系统中具有弹簧常数 的支承的约束作用。 的变化对μ的影响很大，使得 的变化的影响显得次要。

图154

在需要考虑 的变化情况中，必须求出长度为L而具有变化的 的两端铰接柱的屈曲形式。利用李兹法来求解辅助问题，即求出若干屈曲形式和相应的特征值λ，并不需要太多时间。在辅助问题中利用李兹法求得的近似解也严格地满足正交条件，而这些正交条件是在推导本节所阐述的方法时不可缺少的。

对于具有变压力、跨度、惯性矩和弹簧刚度的两端刚性支撑的弦杆，应用李兹法得到稳定方程的近似解。

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