结构倾覆力矩计算公式的另一种理解

说到结构倾覆力矩，搞过设计的朋友可能最先会想到以下这个公式：

该公式来源于《抗规》6.1.3条的条文说明，原条文其中， 为规定侧向力作用下结构底层的框架倾覆力矩， 表示第i层第j根框架柱的计算地震力， 为结构第i层的层高，为框架i层的柱的根数，为结构的层数。若将该公式推广到通用的情况，不仅是计算底层的倾覆弯矩，而是用于计算特定楼层的倾覆弯矩，同时将层高放到第一层连加符号的外面，则可得到公式 ，其中， 表示结构第i层的楼层剪力， 为结构第i层的层高， 为结构第j层的倾覆弯矩，该公式指的是结构第j层的倾覆弯矩等于第j层及以上楼层的剪力与层高乘积的叠加。

最初看 这个公式时，是及其不直观的，因为说到倾覆力矩，可能大多数人最开始想到的都是侧向力乘以力臂的方式，因为我们最初学力学的时候就是这样，力乘以力臂就形成弯矩。接下来我们不妨重新来推导一次这个很多人都推导过的公式，看怎么从侧向力乘以力臂一步步推导到剪力乘以层高。如下图所示，以一个三层高的结构为例，各层层高分别为h1，h2，h3，各楼层的侧向力分别为F1，F2，F3，各层的楼层剪力分别为V1，V2，V3。，相应结构各层的倾覆弯矩分别为M1，M2，M3。

图1 倾覆力矩模型 

根据力与力臂乘积为力矩及外力与剪力之间的关系，我们可以得以下推导：（1）第3层的倾覆弯矩

（2）第2层的倾覆弯矩

（3）第1层的倾覆弯矩

当我们再把这三个公式简略的写一下：

这不就是一个弯矩线性叠加的计算公式吗？如下图红色的箭头的力矩逐层传递：

其实，图1结构的倾覆力矩是与下面的图2结构的倾覆力矩是等效的。

图2 倾覆力矩等效模型 

剪力与层高的乘积相当于在该楼层施加了一个弯矩 。其中 ， ， 。图2所示就是一个沿楼层逐层施加倾覆弯矩的形式，结构第j层的倾覆弯矩等于第j层及以上楼层施加的力矩 的和，即：

其中， 为各楼层剪力产生的弯矩。因此基底倾覆弯矩的实质就是各楼层剪力在各层产生的弯矩的总和。

最后我们再把两个图放一起，如下图所示：

图3 倾覆力矩的等效过程

这下我们可能就比较有感觉了：

（1）左图可以说是最原始最暴力的，但是也是最难记忆的，你可以记得各种复杂的Fxh并叠加，但是你永远记不得各层的倾覆弯矩是怎么个具体的Fh，因为这个是最暴力的，最原始的，只是过程本身，并无抽象。

（2）右图可以说是左图计算过程的一种抽象及理解，是简洁和凝练的，看起来就很舒服了。似乎我们总是喜欢简洁的东西，也只能记得住简洁的东西。所以，最开始我们看到倾覆力矩，我们是想到Fh的过程，当有了左图到右图这个过程后，再说到倾覆力矩的时候，可能就不再是先想起F*h的过程了，而是直接就想到了右边最简洁的方式。

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