大师带你读经典——《金属结构的屈曲强度》（F.Bleich)（81）

81 . 两端具有刚性支承的杆件

各跨力P 相同，长度 ??和惯性矩 I 相同，中间支承弹簧常数 C 相同。因此，函数 ?? ?? 、 ?? ?? 对所有杆件都是相同的，略去脚标 r 。由于 ，三弯矩方程式 （528）可写成

上式中加上和减去2 ?? ?? ，并引用

得到

?? ??、 ?? ??作为脚标 r 的函数，则上式左边的前三项和最后一项表示 ?? ??、 ?? ??的二阶差分。上式可看成一个二阶有限差分方程式

用相似方法变换方程式（5 29 ）。 乘 ? ?? 并用 ?? ?? 代替 ?? ??，此方程变为

或

式 （5 32 ） 、 （ 5 33 ） 形成联 立有限差分方程组，可通过与常系数微分方程相似的解法求解。假定函数 ?? ?? 、 ?? ?? 具有下列形式

A 为任意常数，ξ、μ是 需要确定的值。 由式（ 534 ）可得

式中

将这些表达式代入（532）、（ 533 ），得到特征方程

下面确定ξ、μ。 由式（536b）

从式（536 a ）消去μ，得到 z 的二次方程式

此方程有两个根 ?? 1 、 ?? 2 从方程（ 537 ）可得两个相应的μ值 ?? 1 、 ?? 2 。

由式（535）得到二次方程

由上式求出四个根，与 ?? 1 对应的为对应的为 ?? 1 、 ?? 2， 与 ?? 2 对应的为 ?? 3 、 ?? 4 。从这个方程可看出 ?? 1 ?? 2 =1， ?? 3 ?? 4 =1。因此，有限差分方程（532）、（533）的一般解为

任意常数 ?? 1 至 ?? 4 由边界条件确定，即 

它们给出四个线性齐次方程式

当这个方程组的系数行列式Δ=0， ?? 1 至 ?? 4 才具有限值。故稳定条件为

上式可拆分成三个方程

第一个方程得到无意义的情况： ?? ?? =0， ?? ?? =0。考虑到考虑到 ?? 1 ?? 2 =1， ?? 3 ?? 4 =1，第二和第三方程可写成

这两个方程是完全相同的，每一个式子都为下列的2n个根所满足

由式（539）得到 ，将式（544）代入，得到

由方程（538）解????，得

z值代入后，得到

上式包括了所有可能的屈曲形式。当р=0时，????=0，这一情况不予考虑。

为求式（546）的最后形式，可利用式（531），同时我们记

得到

由于

得到

再求下列数值

最后得到C 

式中

对于n跨的杆件，共有n-1种可能的不同的屈曲形式。 必须这样选择р，使得方程（5 47）算出的弹簧系数C为最大值。 因此，由条件 确定的C是和体系由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态相应的。 由这一条件可求得

上式取负号，C为最大值。

将式（547）与式（549）一起应用，可得到保证n跨弹性支承杆件稳定所需的弹簧常数C。程序如下：算出 后，由式（549）求出 。求得的数值一般并不与n-1个可能的1???????рр????数值中任何一个相符，这是因为р必须是一个整数。从 的数值中，选择两个数，它们与式（549）求得的数值最接近，然后由式（547）求得两个相应的C值。在设计弹性支座时，必须采用这两个C值中的较大值。

为了从??的表达式中消去?? ?? ，可按与第79节相同的方式处理。将式（520）的?? ?? 代入??的表达式，得到

式中k可从所考虑的材料的柱子曲线求得，与第79节的结尾中阐述的一样。

杆件屈曲后的位移形式为

上式给出了在支承??=1,2,…,???1处的位移。A为泛定常数，р是相应于最大C值的整数。

图149给出n=2,4,10,????/(2?? р)对??的关系曲线。n增加时，弹簧常数C迅速渐近于一个极限值??∞，图中??∞由n=∞的虚线表示。由于??∞总是大于任何????，因此用??∞代替????是符合逻辑的，至少在n>6时如此，这时最大误差不会超过1%。如n=∞，则 可为0至2之间的任意数，式（549）可求出与最大C值相应的 的精确值。对于n=∞，?? ?????? =?? ?????? 可写成

图149

图150

为使式（552）便于应用，特制表24，表中??作为??/π=1/k=1/k的函数。如k由柱子曲线求出，表24将适用于弹性范围和塑性范围的屈曲，这一点已在第302页中阐述过。

引用 ，则恩格塞尔公式成为

这样就可以很容易地和式（552）比较。两条曲线都绘在图150。在??=0和??=0.7π之间，恩格塞尔曲线与式（552）的曲线很好地重合，但在??接近π时，则有显著的差别。恩格塞尔在1918年发表了具有弹性支承的矩形截面钢杆的试验结果，发现??<0.7π,试验结果与他的公式符合很好。图150只给出??>0.7π的试验点，它们与式（552）的曲线非常接近。

各跨力P为常数在实际情况中很少能够满足。例如，矮桁架的上弦，P由桁架端部向中央逐渐增加，但在经济的设计中，比值??/?? ?? ??近似为一常数。函数Φ只与k有关，而如果Φ是根据弦杆中央部分确定，可以认为已经足够准确。同时，在式（552）的因数 中采用?? ?????? 的数值就会得到偏保守的结果。

恩格塞尔公式以及精确公式（547）（552）都是根据弹性支承杆件的端部具有不动支座这一假定推导得来。就半穿越式桥梁设计来说，这一条件实际上是不会满足的。在这种情况下应用上述公式会得到偏于不安全的结果。恩格塞尔公式被广泛应用于欧洲的桥梁设计中。他们希望，由于应用?? ?????? 来计算?? ?????? ，得到的过大的安全度可抵消端部支承的可移动性的不利作用，而实际并非如此。这种情况不能令人满意，因为现在已有了能够考虑弦杆两端弹性变位的设计方法。这将在下节讨论。

假定各跨力P相同，长度??和惯性矩I相同，中间支承弹簧常数C相同。对上节的通解利用有限差分法进行求解，得到两端刚性支承杆件具有中间弹性支承的稳定公式，由此得到所需弹簧常数?? ?????? 。与恩格塞尔公式相比，具有更好的精确度。

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