非线性整体稳定分析--原来可以这样

继上一期推文介绍了 结构进阶分析：你想知道的结构全过程倒塌模拟 之后，小编结合近期的工作给大家准备了新的一期文章，我们都知道结构的连续倒塌是一种发生时间短，破坏程度严重的动态过程，同样失稳也有类似的特点，一旦结构发生失稳，甚至是有可能引起连续倒塌。今天就来分享一次结构非线性稳定的过程。

通常结构的非线性稳定分析主要分为两类情况：

√ 仅考虑几何非线性的失稳；

√ 同时考虑几何非线性和材料非线性的失稳；

而求解非线性问题主要分为以下两种迭代算法：

牛顿-拉普森法(Newton-Raphson)和弧长法(Arc-length)。

一般的非线性分析可使用牛顿-拉普森法；对于具有跳跃(Snap-through)或回跳(Snap-back)特性的非线性问题，可使用弧长法进行分析。

牛顿-拉普森法(Newton-Raphson)

图1  牛顿-拉普森法(Newton-Raphson)

通过反复迭代计算使一个时间步骤内的位移、能量、或者荷载的增量满足收敛控制范围时即可终止迭代计算。

弧长法(Arc-length)

在荷载-位移曲线接近水平时在微小荷载作用下位移的增量值也会很大。弧长法迭代计算中增量的大小是变化，计算增量的方法如下图2。当荷载-位移曲线的形状为如图3所示的跳跃(Snap-through)或回跳(Snap-back)情况时，一般的迭代计算将无法获得准确结果，此时可使用弧长法进行分析。

图2 弧长法迭代求解示意图

图3 弧长法求解的典型荷载-位移曲线

为了更加直观地理解弧长法，我们通过两个实际应用案例来感受一下吧。

案例一

图4 案例一结构加载示意图

图5 案例一结构荷载位移曲线

案例二    

图6 Lee Frame结构简图

图7 加载点的荷载位移曲线

图8 刚架变形动画示意

图6是经典的Lee's frame简图，一个在端部正交的铰接约束平面刚架，在距离正交点一定距离处有集中力F作用。之所以称其为经典算例是因为它的荷载位移曲线同时集中了跳跃(snap-through )和回弹(snap-back)现象，传统的求解策略根本无法对其进行荷载—位移路径跟踪，在此，弧长法展现了很大优势，图7是ABAQUS计算得到的加载点的荷载位移曲线，图8是刚架的变形动画。

特别注明，以上案例引自：

http://www.1cae.com/a/Midas-Civil/46/riks-method-code-by-myself-abaqus-4794.html

在midas中的非线性设置对话框中，提供了三种计算方法，分别是Newton-Raphson、弧长法和位移控制法，如下图9所示，三种方法都有其各自的适用场景。

图9 Midas非线性分析设置对话框

1、Newton-Raphson

适用于荷载逐级加载，且总荷载不能超过结构的承载能力，当总荷载接近结构的极限承载能力时，刚度为0甚至进入负刚度，此时若再继续增加荷载将很可能导致矩阵奇异，数值计算很难收敛。该方法仅能实现荷载控制，因此最好能事先知道结构的承载能力，但很多情况下，比如非线性稳定分析，结构的承载能力是待求量，因此用该方法进行非线性稳定分析不太适用。

2、弧长法

弧长法的优势在于能求解强几何非线性的非线性方程，我们不用事先取判断哪个位置会在加载的过程中发生失稳，相比于牛顿-拉普森法(Newton-Raphson)更易求得结构承载能力的水平段及下降段，甚至可以捕捉到结构的复杂力学行为：比如结构某一部分由于受力变形过大而进入准失稳状态，但此时结构仍具有承载能力，此时程序可能会尝试卸载，在卸载至达到一个新的平衡状态时，结构刚度矩阵可能又负转正，结构将重新具备再加载的能力，从而继续加载求解直至结构整体发生整体失稳。因为具备以上特点和优势，在进行结构整体稳定分析时，推荐使用弧长法进行求解。

3、位移控制法

该方法程序内部依然是采用New-Raphson算法进行求解，位移控制的优势在于当结构接近其极限承载能力时，程序若求解出负刚度，会进行卸载，也因此可以求得具有下降段的能力曲线。但前提是，监测的节点必须是结构发生失稳的位置，实际上，在进行逐步加载的过程中，由于几何非线性和材料非线性的存在，杆件的受力不断发生重分布，极有可能最后结构发生失稳的位置并不是初始预判的位置（这个位置事先并不知道），由此导致结构发生失稳时，可能被监测的节点仍处于弹性稳定状态，但此时程序已经出现数值不稳定的状态。因此很难收敛到正确的解。

本案例为某歌剧院上部屋盖，钢结构空间曲面双层网壳体系形成了整体受力空间结构，因其跨度大，空间布置和杆件受力较为复杂，因此有必要对其进行整体稳定分析。

采用MidasGen建立了空间网壳模型，同时采用了非线性分析中的位移控制法和弧长法（Risk）对网壳屋盖的整体稳定性能进行了研究，经计算分析对比，两种方法得到的荷载系数-监控节点位移曲线在上升段基本一致，但在结构加载至接近失稳的阶段时，位移控制法开始出现迭代收敛不稳定，数值求解发散的现象，此时弧长法（Risk）体现出了明显的优势，在结构即将失稳时刻，数值迭代求解仍能较好收敛，甚至可以算到曲线下降段，因此以下仅列出弧长法（Risk）求解的结果。

因结构空间1/8对称，因此首先针对以下两种工况进行稳定分析，由于屋盖支撑系统有张拉索网协同工作，因此以下两种工况同时还对比了有无考虑索网张拉对计算结果的影响。

1）工况一：恒载（系数保持1.0）+活载（系数保持1.0）+0度方向风荷载（系数可变）；

工况二：恒载（系数保持1.0）+活载（系数保持1.0）+45度方向风荷载（系数可变）；

图10 风作用方向示意图

工况一分析结果

分析模型一 （不考虑索网张拉的计算模型）

图11 屈曲时刻对应的变形云图

图12 荷载系数-监控节点位移曲线

分析模型二 （考虑索网张拉提供初始应力几何刚度）

图13 屈曲时刻对应的变形云图

图14 荷载系数-监控节点位移曲线

工况二分析结果

分析模型一 （不考虑索网张拉的计算模型）

图15 屈曲时刻对应的变形云图

图16 荷载系数-监控节点位移曲线

分析模型二 （考虑索网张拉提供初始应力几何刚度）

图17 屈曲时刻对应的变形云图

图18 荷载系数-监控节点位移曲线

由以上分析可以看出，两种分析工况下结构屈曲时刻的变形分布和对应的荷载因子有一定区别，但可以看到， 考虑索网张拉后提供了几何刚度后，结构的屈曲荷载因子有所降低 ， 索网的初应力对结构稳定性能产生不利效果。

 

本文仅作经验分享，欢迎感兴趣的小伙伴们进一步交流探讨。

本文转载自微信公众号“广东省院结构安全顾问”

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