弹性理论的建立

弹性理论的建立，可以追溯到 1687 年英国科学家胡克（ Robert Hooke ， 1635-1703 ）发现了材料的弹性性能，并给出了胡克定律。胡克认为许多材料都具有弹性性能，且加载时，材料的位移与力之间存在着简单的线性比例关系，他曾认为一切物体都是由很小的微粒组成的，这些微粒通过 “ 弹簧 ” 相连，拉伸或者压缩材料时， “ 弹簧 ” 会被拉伸或压缩，形成宏观上的材料变形，同时产生在材料内部形成 “ 反作用力 ” （这可用图 1 所示的模型来理解）。

图 1  固体材料的微粒与弹簧模型

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和胡克观点类似，当时还盛行着弹性体的分子理论，该理论认为物体内的弹性可以解释为材料最大质点之间的吸力和斥力（或称为分子力），在任何两个最大质点之间沿着它们连线上作用的力在某些距离上时吸力，而在另外一些距离上则是斥力，还有一个平衡距离，该处力消失为 0。

在弹性力学的建立过程中，纳维首先采用分子理论建立弹性理论；而后柯西给出了应力、应变的概念，重新推导了弹性理论；最后，拉梅对弹性理论进行了完善。本文主要以3人对弹性理论的工作为线索，了解弹性理论的建立过程，并理解应力、应变、拉梅常数等概念的作用和背景。

01 纳维的弹性理论

这里， X,Y,Z 为作用在质点 P 上的外力分量。式 (8) 就是纳维导出的各向同性弹性体的平衡微分方程，显然，根据纳维的假设只需要一个常数 C 。此外，纳维还指出如果将惯性力项（由加速度产生）加到外力 X,Y,Z 上，就可以得到弹性体的运动微分方程，并利用虚位移原理导出了弹性体的边界条件。

 

02 柯西的弹性理论

纳维的工作很快就引起了柯西的注意，开始专注于弹性力的理性分析。早在 1705 年，雅各布 · 伯努利（ Jakob Bernoulli ， 1654-1705 ）在研究梁的变形时，认为描述材料纤维在拉伸作用下的变形，需要借助于单位面积上的力和纤维单位长度上的伸长量，而且力是变形的函数。 1713 年，帕朗（ Antoine Parent, 1666-1716 ）在研究梁变形中，意识到梁截面上的力可以分解为垂直于截面方向和水平与截面方向的，提出了剪应力的概念，不过，由于帕朗的影响很小，他的学术并没有引起关注。库伦（ Charles-Augustin de Coulomb, 1736-1806 ）将帕朗的这一概念应用于研究土的失效（ 1773 ）和摩擦（ 1779 ）。 1752 年，欧拉（ Leonhard Euler ， 1707-1783 ）还借用流体压强的概念来理解固体材料内部的压力。这些研究为柯西提出应力、应变的概念奠定了基础。

 

柯西舍去了纳维从质点推导平衡方程，他借用了欧拉在平面上压力的概念（正应力）以及帕朗剪应力的概念，从弹性体中取出一个无穷小的平面单元，如图 3 中的斜面，斜面上的总应力可以认为是质点对另一边质点作用力的全部合力。

至此，柯西建立了弹性力学的全部基本方程，式 (13) 所示的平衡方程，式 (6) 所示的几何方程，式 (14) 所示的物理方程，这就是我们现在所学《弹性力学》的基本方程。人们为了纪念纳维和柯西的贡献，将平衡方程称为纳维 - 柯西方程，几何方程称为柯西方程。

 

特别是柯西提出的应力、应变概念， 19 世纪英国工程师们阅读了柯西的理论后，发现应力和应变的概念一旦被理解，整个结构分析就极为简化了。应力的概念，不仅可以预测材料何时会破裂，还可以描述物体内部在任何时候的状态，它就像液体或气体中的“压力”，可以用来衡量构成材料的原子和分子被拉开或是聚集。

03 拉梅对弹性理论的完善

 

与纳维认为各向同性材料只有一个参数 C 不同，柯西认为各向同性材料需要两个参数，但是它们的力学意义还不能被理解。 式 (14) 中两个常数的力学意义，后来由法国数学家、工程师拉梅（ Gabriel Lame ， 1795-1870 ）于1852年明确，被称为拉梅常数。他采用了与柯西不同的符号

常数 ( 剪切模量 ) 。拉梅曾就读于巴黎综合理工学院，毕业后被介绍到俄国，在圣彼得堡交通工程学院工作，期间帮助俄国设计了一些重要的悬索桥，这迫使他对弹性力学进行了理论和实验多方面的研究。

 

拉梅首先利用纳维和柯西的方法推导平衡方程，证明了用纳维分子力的概念同样可以导出柯西用应力概念导出的平衡方程，更进一步，他还用这些方程求解了一些实际问题。对主应力的求解中指出，柯西的二次曲面为椭球表面，被称为“拉梅应力椭球”，并给出了求过此点任意平面上应力大小和方向的方法。将一般方法退化到特殊情况，如拉伸、压缩，得到了利用实验方法测定方程中所用单一常数的方法。现在，式 (15) 总结了可以利用试验测定拉梅常数的方法。

针对于弹性材料常数，托马斯 . 杨 (Thomas Young, 1773-1829) 于 1807 年明确了弹性模量，泊松（ Simeon-Denis Poisson, 1781-1840 ）于 1833 年发现了材料变形中的泊松效应，并给出了泊松比。

纳维用分子理论推导弹性理论，采用了物理的方法；柯西利用微元体推导弹性理论，是数学的方法；拉梅用实验给出了拉梅常数的实验方法，将数学与物理的有效结合，体现了力学思维的价值和意义。顺便说一下，在弹性理论的建立中，拉梅、柯西、泊松、纳维都毕业于巴黎综合理工学院，群星闪耀，这和综合理工加强版的基础教育密不可分！

主要文献

1.常振擑 [ 译 ] 铁木辛柯 [ 著 ] 《材料力学史》

2.https://www.britannica.com/science/mechanics-of-solids/History

3.Gordon J E . The inventionof stress and strain — or Baron Cauchy and the decipherment of Young's modulus.1978.

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