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桁架的节点为什么可以看作铰接?

桁架是一种普遍应用的杆系结构。图7与图8就是桁架结构桥梁。所谓桁架,就是杆系结构中的每一根杆都是结构中几何单形的一条边,对于平面桁架,单形就是三角形,每一根杆都至少是一个三角形的一条边,对于空间桁架,单形就是四面体,每一根杆都至少是一个四面体的一个棱。所以如果把桁架的每一根杆都看作刚体,它们所构成的杆系是不会变形的,是十分坚固的。


桁架的历史是久远的。古罗马时代的建筑师维特鲁威(Marcus Vitruvius Pollio,生于80-70BC,逝世于15BC)所著《建筑十书》中所介绍的起重机械(图1)和攻击机械郝格托尔撞锤和龟(图2)的结构可以看作最早的桁架。桁架在建造木桥和屋架上最先见诸实用(图3)。古罗马人用桁架修建横跨多瑙河的特雷江桥的上部结构(发现于罗马的浮雕中),文艺复兴时期,意大利建筑师帕拉迪奥(Andrea Palladio,1508—1580)开始采用木桁架建桥,后来出现了华伦式、汤式、豪式等不同形式的桁架(图4-6)。19世纪五十年代之后才出现钢结构桁架。


图1 《建筑十书》中介绍的起重装置


图2 郝格托尔撞锤和龟


图3 古罗马时代早期木结构桁架


图4 华伦式桁架(James Warren 1848获英国专利)


图5 豪式(William Hawe 1840年设计并获专利)桁架,增加了竖直杆


图6 汤式网格(Ithiel Town 于1820年获英国专利)桁架


图7 1924年建成的上海浙江路桁架结构桥


图8 施工过程中的桁架桥梁


结构力学在分析桁架的各个杆的受力时,需要简化。归结起来就两条:


  • 一条是所有的外力作用在桁架的节点上;


  • 一条是桁架的所有节点都是铰接的,也就是说每一根杆可以绕节点自由转动。


这两条的实质是,桁架的每一根杆只受拉压力,不受弯矩的作用,亦即没有弯曲。


我们注意图7、图8的桁架,前一个桁架的节点是铆接的,后一个节点是焊接的,都是固接,杆与杆之间并不能相互转动。为什么在做分析的时候却能把这些节点简化为铰接的呢?这需要仔细说说。就是说,我需要估算在桁架的杆件变形时,杆件所受的弯曲程度。如果我们能够证明在任何情况下,杆件弯曲所引起的应力比拉压的应力都小许多,那么我们当然就可以略去杆件的弯曲,把桁架的节点看做铰接了。


不妨设杆的长度为l杆的截面尺寸为a,并且a<<l,即截面尺寸比长度小一个数量级。现在我们设杆系中有一根杆受拉(或压)力,力的大小为杆的比例极限,这是在设计时,杆能够承受的比较大的力了,因为大过它,材料就会受到不可恢复的塑性变形。一般在碳钢的情形,它相当于杆伸长(或压缩)了原长的千分之一,即l/1000。还设这根杆的一端是固定的,于是另一端就移动了l/1000,于是在这一段相联接的另一根杆便产生了横向的位移。不妨假定它的横向位移就是l/1000(其实只有在另一根杆与变形的杆相互垂直时才是这样的,一般情形,横向位移要小)。


我来讨论,这另一根一端横向位移为l/1000,一端固定的杆的弯曲变形。这是一根悬臂梁。设它在固定端所受的弯矩为M,则由材料力学简单的计算可以达到位移端的横向位移应当是:

这里E是材料的杨氏模量,J是截面的转动惯量。由这个式子可以求出杆固定端的弯矩M,从而得到那里最大的弯曲应力

考虑到J=a?/12于是上式就化为

我们既然知道受拉杆的变形是l/1000,它的应变是1/1000,所以拉压应力是E/1000,现在弯曲应力多出一个引子a/l,而且由于悬臂梁在固定端的应力是最大的,所以可知杆的弯曲应力比起拉压应力要小一个数量级。因此,在分析桁架的受力时,它各杆的弯曲应力是可以略去的。这就是为什么在分析桁架时假定节点是铰接的原因。


有一点需要附加说明的是,对于荷载都作用在节点上的假设,纯粹是为了在分析受力时没有受弯曲的杆件。如果有某一根杆外载是加在杆中间,那也很容易办,先把载荷等效地分配到临近的节点上分析桁架,然后只要对这根杆当作实际载荷与反向的等效载荷作用的梁来分析,把分析结果与桁架得到的结果相叠加就可以了。


以上对桁架所受弯曲的讨论,纯粹是从数量级上来考虑的,因为所设的条件都是不利的情况,实际情况远比所讨论中的弯曲应力要小许多。所以通常分析桁架,都可以放心地只考虑每根杆受拉力或压力就可以了。不过有时候还是需要仔细讨论桁架中杆件所受的弯曲情况的,例如在超静定结构中,有的杆变形比较大,已经超过比例极限产生了塑性变形,或者结构对变形的要求比较精密,需要考虑弯曲所引起的变形,这时候就需要考虑桁架所有杆的弯曲。这种分析的结果称为桁架的二次应力。


人们在研究自然界或人造的事物,都需要进行一定的简化,去抓住事物最主要的本质特点,这就是模型化的方法。桁架就是结构力学中最重要的一类模型。


来源:武际可科学网博客,作者:武际可教授。


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