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作为结构工程师,你思考过结构效率吗?


悬臂梁在端部集中力作用下的力流

在静力学领域,结构是要将力传递到目的地,即结构工程师通过材料的组装引导力流的传递。力流从一个点传递到另一个点,可选的路径很多。 那么,沿哪条路径传递才是最优的呢?或者怎样判断结构效率的高低?这是本文要讨论的问题。

首先看一个概念—— “应变能”

1.应变能

应变能是什么? 我们从两个角度看。

从结构外部看,外力所做的功以应变能的形式存储于结构内,结构的应变能等于外力与结构变形的乘积。



式中:C为结构的应变能;P为结构所受外力;U为结构在外力P处的变形。

(1)式可以写为:


其中,1/U为结构刚度,假设荷载是一个常量,则应变能C越小,表示结构的刚度越大。 因此,在相同荷载下,应变能最小表示该结构刚度最大。

从结构内部看,应变能是应变能密度对体积的积分。


c为应变能密度,应变能密度定义如下:


式中:σ为应力,ε为应变,λ为应力比。

式(3)可改写为下式:


应力比代表结构的应力水平,而结构所用材料的体积即为结构的材料用量。因此,由式(5)可见,应变能反映的是应力比水平与材料用量之间的一个关系。

在材料用量一定的情况下,结构应变能越小,表示应力比水平越低;在应力比水平一定的情况下,结构应变能越小,表示材料用量越低。

综上所述,如果我们以材料的用量来评价结构传力效率(即荷载和边界条件相同的情况下,材料用量少,结构效率高;材料用量多,结构效率低),那么“应变能”可以作为结构传力效率的指标。

2.应变能作为结构传力效率指标的前提条件

要得到上面的结论,须有以下 两条假定:

01 以上论断都只有在应力不超过材料弹性极限,以及不考虑几何非线性、稳定的前提下才能成立,也就是说,只适用于线弹性范围之内。

02 因为推导中采用应力比λ表征了截面应力水平,所以以上结论仅在截面应力分布完全均匀(轴拉或轴压)的情况下成立。

因为对于受轴力的构件,应力在截面上、轴力在杆件长度上都分布均匀。但是对于受弯构件,应力在截面上分布是不均匀的;而且在受横向力弯曲时,弯矩沿杆件长度的分布也并不均匀。


对于实际工程,由于需要考虑的因素非常多(比如建筑的功能、美观要求),结构工程师必须在某些地方进行妥协。怎样达到综合效益的最佳,本文不作讨论。

3.应变能的概念分析

在式(5)的基础上,进一步简化公式。

假设结构的每一根杆件应力比均相同,即λ为定值。则式(5)可以简化为下式。


由式(6)可知,应变能C与应力比的平方成正比,是一个标量。因此,计算应变能时,力流不区分拉力还是压力, 均为正

由V=∑A×L(A为横截面面积,L为杆件长度)可得:


假设杆件均在同一应力水平下(即应力比相同),则杆件的轴力与横截面面积成正比:


将式(8)代入式(7)中,则:


假设R为一定值:


将式(10)代入式(9)中,则:



式(11)的物理意义为:一个结构的应变能与力流大小及力流走过的长度成正比。因此,传力越直接,应变能越小。

所以,力沿刚度最大的路径传递,而力沿最短路径传递是最有效率的。

4.讨论

示例1:

有两根相互铰接的二力杆,两端是铰接支座,假设结构高度为H,H为常数,θ作为变量,中间受到一个竖直向下的集中力F作用,如图1所示。


图1 二力杆示例计算简图


结构应变能:

单根杆件轴力:


单根杆件变形:


整个结构应变能:


所以,θ=90°时,结构的应变能最小,即可认为此时结构效率最高。

示例2:

有两根相互铰接的二力杆,两端是铰接支座,支座间距为2L, 假设L为常数(示例1中H为常量),θ为变量,中间受到一个竖直向下的集中力F作用,如图2所示。


图2 二力杆示例计算简图


结构应变能:
单根杆件轴力:


单根杆件变形:


整个结构应变能:


通过Matlab可以求出上式的最小正值。

假设:


可得,函数的极值点为x=0.9553,对应极值为f(x)=2.5981。函数图形如图3所示。


图3 f(x)的函数图形

综上所述,θ=0.9553rad(54.762°)时,结构应变能取得最小值。结构效率是在θ=54.762°时最高。


5.结构优化解的多样性

仍然使用经典 二力杆案例进行分析。

示例:有两根相互铰接的二力杆,两端是铰接支座,支座间距为2L,假设L为常数,θ为变量,中间受到一个竖直向下的集中力F作用,如图4所示。



图4 二力杆示例计算简图


单根杆件轴力:


单根杆件变形:

整个结构应变能:

01 截面为常量,应力为变量

则求解应变能的极值就是求解以下函数的极值:


以上函数的极值点为x=0.955,对应极值为f(x)=2.5981。
所以假设杆件截面不变,当θ=54.76°时,应变能最低,结构刚度最大。

02 应力为常量,截面为变量

假设应力为常量,那么截面积A就是一个随θ变化的变量。


应变能的表达式就要改写为如下:


由上式可知,应变能在θ=45°时最小。即控制杆件应力水平相同,当θ=45°时,应变能最低,结构材料用量最小。

03 H为常量,L为变量

示例1)中已有推导,在此仅给出结论。应变能的表达式如下:


可见,应变能在θ=90°时最小。所以,如果截面恒定,θ=90°时结构刚度最大;如果应力比恒定,θ=90°时材料用量最小。

以上都是以应变能为优化目标,但是当约束条件不同时,得到的结果不同。若进一步改变优化目标,看下优化的结果是什么?

04 截面不变,考虑压杆稳定,以最大承载力为优化目标

首先欧拉公式为:


将杆件长度与L和θ的关系代入上式,可得:


进而可以得到外力F与θ的关系:


由上式可知,θ=35.26°时,相同的杆件截面可以承受最大的外力F。

可见,不同的约束条件、不同的优化目标,得到的结构形态都是不同的。小i在实际的优化实践中觉得,假定截面为常量进行优化比较可行。
比如在进行形态优化时,将截面设定为常量将会减少非常多的优化变量,这样仅需将优化变量设定为节点坐标,计算工作量大大下降。而这样做可以得到一个相对较优的解。下图即为采用该种方法进行形态优化的一个示例。


6.结构效率系数—结构效率的另一个指标

之前探讨了应变能作为作为结构效率的评价指标,但是小编还想探讨结构效率的另一个指标,我称之为“结构效率系数”。这个指标的物理意义存疑,但小编仍觉值得讨论。

如果我们将结构的传力类比于“工作总量”和“工作时间”,我们是不是能够将结构效率类比于“工作效率”呢?

“工作总量”——外力势能(W)

我们将外力F与外力到传力目的地的距离s的乘积定义为外力势能W:

规定:支座位置为外力的势能零点。

“结构的工作时间”——结构应变能(C)
在应力比水平相同的情况下,我们用应变能的大小反映结构传递外力所要耗费的材料。

“工作效率”——结构效率系数(μ)
结构效率系数=外力势能/结构应变能: μ=W/C

基于此,再看以下示例:有两根相互铰接的二力杆,两端是铰接支座,支座间距为2L,假设L为常数,θ为变量,中间受到一个竖直向下的集中力F作用,如图5所示。


图5 二力杆示例计算简图


外力势能:


结构应变能:


结构效率系数:


可见,不管是应力比为常量还是截面面积为常量,都是θ=90°时结构效率系数最高。但是,θ=90°,外力势能趋于无穷大,材料用量也趋于无穷大。

假设H为常量,L为变量。

外力势能:W=FH(定值)

结构应变能:


结构效率系数:


由上式可得,θ=90°时,结构效率系数最大,同时,结构应变能最小。

可见,如果以“结构效率系数”为指标,则用应变能优化得到的不同解统一为一个解。关于这个指标中的“外力势能”,小i解释不清。对于一根悬臂梁,在自由端作用一个集中力,外力势能应该是力与力臂的乘积。但通常我们认为,力与力臂的乘积是力矩。

虽然小编知道,力矩是矢量、势能是标量。但巧的是,他们的单位都是kN.m。所以,小编觉得这两个物理量之间是不是统一的?但目前为止,还没想通。如果您有想法,欢迎留言。

弗雷·奥托研究轻型结构时,也采用了类似的指标来研究结构的受力效率。他认为“力臂、力传递距离、输送能力等专业名词,他们有着相同的基本意义”。有兴趣的朋友可以查阅《轻型建筑与自然设计—弗雷·奥托作品全集》。
6.小结

力沿刚度最大的路径传递,但并不代表刚度最大的路径结构效率最高。最短的路径才是力流传递是最有效率的,材料是最省的或刚度是最大的。

应变能可以一定程度代表结构的材料用量和结构刚度,因此结构优化中可以将它作为优化指标,且建议实际优化中假定截面是不变的。

不同的约束条件、不同的优化目标所导致的优化结果可能不一样。优化得到的解往往是一个相对优的解,而不是绝对最优解。

介绍了一个概念“结构效率系数”,这是一个有争议的概念,且在结构设计中暂时看不到应用。

转自:iStructure

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